动系英文

【题目】如图1所示的竖直平面内，O为固定光滑销钉，右下方为一半径为R的可绕其圆心C无摩擦转动的匀质圆盘，质量为m。现有一根质量同为m长为4R的匀质细杆AB，被搭在圆盘上使得杆与圆盘相切，切点恰为杆的端点B点。此时AB与水平方向夹角为45°，且AO距离为R。将系统由静止状态释放，杆与圆盘摩擦系数足够大，重力加速度为g，则

（1）杆下滑了x距离时（x<R），试计算圆盘的角速度与角加速度；

图1

（2）杆刚刚脱离O点时，突然给杆一个垂直冲击，使得杆具有一个逆时针转动的角速度，其大小与脱离时盘的角速度相同，而杆依然与圆盘无滑动接触，计算此时杆AB的角加速度大小。

解: (1) 杆AB平移；盘C定轴转动。由纯滚动得v=Rω_C。

选择杆AB+盘C为研究系统，该系统只有一个自由度，用机械能守恒最方便。

选择最初位置为0势能，即T₁=0, V₁=0。

图2

下滑x距离后，V₂=-mg x*√2/2。动能

(2) 第一步，做运动分析。将动系与AB杆固结。在动系上看到轮C沿AB纯滚动(AB上切点记为P, 盘上记为P’ )。相对滚动角速度

图3

根据哈尔滨工业大学《理论力学(I)》第8版(高等教育出版社)例题8-11知道

P’ 的绝对加速度可分解为切向和法向两个分量。从动系AB上来看P’的加速度

第二步，取AB杆加达朗贝尔惯性力。质心Q的加速度

因此在质心上加相应四个惯性力，如图4中所示。

此外绕质心转动还要加惯性力偶，也如图4中所示。

重力、摩擦力和支持力一并如图4中所示。

图4

现在杆AB在数学上就处于“平衡”了，因此

讨论：

当杆受到冲击后，杆盘接触处的正压力会无穷大，摩擦力如果也无穷大的话，那么盘的角速度也会瞬间改变的。这里题目说没变，那就没变吧。

纯滚动瞬心处的加速度是利用哈工大教材中的结果。可以死记硬背这个结果。如果重头做起，就像哈工大教材中那样，就需要流氓求导。

瞬心加速度有很多文章讨论，可参考相关文章。

更一般的相切型加速度关系，可以看《相切型传递的加速度表现》，物理与工程，2018-02-06

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